아르키메데스 다포체

초각기둥, 듀오프리즘 종류를 제외한 아르키메데스 다면체를 4차원으로 확장시킨 도형이다. 영어로는 uniform polychoron 혹은 uniform 4-polytope로 불린다. 이것의 싸대로는 카탈랑 다포체가 있다. 총 41가지가 있으며, 최고 다각형은 십각형까지 사용 가능하며 최고 다면체는 깎은 십이이십면체까지 사용 가능하며, 한편 5차원 이상에서는 팔각형, 깍은 육팔면체, omnitruncated 정팔포체 and 정십육포체가지 사용 가능하다.

 

다듬은 육팔면체와 다등믕 십이이십면체는 cw ccw 이렇게 미러링 된 2가지 모양이 존재하며 3차원에서만 가능한 조합이고, 4차원에서는 이 형태가 nonuniform이 되버려서 입체가 아르키메데스 다면체 혹은 정다면체를 사용해야 한다는 아르키메데스 다포체의 조건을 만족하지 못한다.

 

4차원에도 다듬은 이십사포체가 있다지만 이름만 같으며 배열 방식이 전혀 다르고 오히려 이쪽은 grand antiprism처럼 600포체의 특정 꼭지점을 이어서 만든 도형이다. 자른다는게 아니라 특정 꼭짓점을 이어서 만든 도형이라 표현한 이유는 snub-24 cell은 정600포체의 20면체 입체 부분을 자르면 만들어지지만 grand antiprism은 전혀 그렇지 안았다. 특히 grand antiprism은 무려 1965년에 최초로 발견되었으며, 4차원 이상의 기하학 이론이 1850년대에 본격적으로 연구된 것을 보면 엄청 늦은편이다.

 

snub 24-cell은 정이십면체 24개. 정사면체 120개가 들어가며 grand antiprism은 엇정오각기둥 20개, 정사면체 300개가 들어간다. 정600포체의 꼭짓점을 적당히 이으면 정24포체를 만들 수 있는데 이 원리를 응용한 도형이다.

4차원에서 이 부분의 끝판왕으로는 omnitruncated 정백이십포체 and 정육백포체가 있다. 4차원에서는 14400포체의 균일한 사면체 입체를 가진 주사위를 만들 수 있다는 것도 된다.

 

다만 아르키메데스 다포체 계열은 정다포체와는 달리 5차원 이상에서도 부피가 1 이상인게 많이 있으며, 오히려 차원이 늘어날수록 기하급수적으로 커진다. 참고로 3,4차원의 정다포체와 아르키메데스 다포체는 매우 복잡해지지지만 사원수로 좌표를 나타낼 수 있으며, 2차원의 정다각형을 아르키메데스 다포체식으로 확장할 시 정2n각형이 여기에 해당하며 복소수로 좌표를 나타낼 수 있다.

 

정다포체와 중복되는 것은 괄호로 적었으며 쌍대다포체의 정가운데에 들어가서 십육팔포체나 백이십육포체에 해당하는 것은 and로 적었으며 나중에는 정다포체가 아닌 서로 쌍대 관계의 정규 벌집이나 쌍곡 벌집 쌍 끼리의 계열도 만들어볼 것이다. 단, 이 경우에도 콤팩트나 파라콤팩트 계열의 쌍끼리만 만들 수 있으며, 논콤팩트일 때에는 역시 꼭짓점이나 n-1차원 입체 마저 쌍곡이라 만들 수 가 없으며, 8차원 이상에서의 이러한 조합의 계열들은 전부 논콤팩트인지라 이런 식으로 정다면체의 작업을 해서 얻어지는 도형을 알아내기가 매우 힘들고 어려워질 수 밖에 없다.

 

그리고 여거 가지 정다포체들을 조합해서 만든 다포체 계열과 그것들의 쌍대도 엄밀히 따지자면 아르키메데스 다포체이다. 단, 이때에는 서로 해당 다포체를 이루고 있는 n-1차원 도형이 서로 같을 때에만 이어붙일 수 있으므로 다른 다포체와 조합한다 해도 같은 면으로 이루어진 같은 차원의 다포체나 유클리드 벌집끼리 조합애햐 가능하다.

 

이들의 쌍대의 꼭짓점 도형은 해당 도형의 모서리 도형이 서로 같은 2가지 종류 이상의 다포체들이다. 예를 들어 한 변에 정사면체와 정팔면체를 각각 두 개씩 배치하는 경우는 유클리드 벌집이므로 이의 쌍대는 꼭짓점이 정사면체와 정육면체 2가지인 마름모십이면체 벌집이며, 그 외에도 정사면체 3개의 정팔면체 하나를 정오포체 3개와 정십육포체 하나, 정오포체 하나와 정십육포체 2개, n-단체 3개와  n -단체 1개와 n-정축제 2개의 조합과 이들의 쌍대가 이러한 조합에 있다.

 

이는 9차원에서 유클리드 벌집이 되고, 10차원에서 파라콤팩트. 11차원에서는 꼭짓점이나 (n-1)차원, 도형이 파라콤팩트인 논콤팩트, 12차원 이상에서는 꼭짓점이나 (n-1)차원 도형 마저도 논콤팩트인 논콤팩트 그 자체가 된다. 이것의 쌍대들은 꼭짓점 도형이 크게 두 가지 있으며, 꼭짓점 도형이 되는 두 가지 도형은 서로 꼭짓점이 같은 것 끼리이다.

 

그리고 정십이각형을 사용하는 경유는 3차원에서 유클리드 벌집이 되며, 정십각형까지 사용할 수 있는 4차원 이하까지와는 달리 5차원 이상에서는 정팔각형 까지만 사용 가능하다.