마방진 어떻게 풀어야 하는지 수학 원리로 배우자

마방진은 가로, 세로 3칸씩으로 이루어진 정사각형에 1부터 9까지의 수를 겹치지 않게 채워 넣었을 때 가로, 세로, 대각선에 놓인 세 수의 합이 모두 같아지는 수의 배열을 magic square이라고 한다. 오늘은 마방진의 유래와 종류 그리고 푸는 방법을 수학 원리로 알아보자.

 

목차
1. 마방진 유래
2. 우리나라 마방진 역사
3. 마방진 종류
4. 마방진 푸는 방법
5. 마방진 원리

 

1. 마방진 유래에 대해 알아보자

중국 우왕 시대에 매년 황하가 범람하여 물이 흐르는 길을 고치는 공사를 하는데 어느 해에 강의 가운데서 큰 거북이 나타나서 잡았더니 이 거북의 등에 신비한 무늬가 새겨져 있었다. 이상하게 여긴 우왕이 이 거북의 등에 새겨진 무늬에 대해 알아보니 거북의 등에 새겨진 그림은 1부터 9까지의 숫자를 점의 개수로 나타낸 것이고 가로, 세로 3개씩 총 9개의 숫자가 적혀 있음을 알았다. 더 놀라운 것은 이수를 배열이 가로, 세로, 대각선으로 더하여도 합이 항상 15로 같다는 것이다. 이것이 마방진의 시초가 되었다.

2. 우리나라에서 마방진 언제부터 시작되었나

조선시대 숙종 때 수학자 최석정이 쓴 책인 구수략에는 9차 마방진과 지수 귀문도라는 유명한 magic square에 대한 설명이 있는데, 9차는 가로, 세로 9개씩 총 81개의 숫자로 만들어지는 데 1부터 8까지의 수를 중복 없이 배열한 것이고, 지수 귀문도는 1부터 30까지의 수를 육각형 모양으로 중복 없이 배열한 후 각각의 육각형의 수를 합하면 모두 93이 된다.

3. 마방진 종류를 알아보자

마방진의 종류로는 홀수 차수와 짝수 차수가 있다. 홀수 차수는 대각선으로 숫자를 써가면서 다 채운 다음 상하좌우에 튀어나온 숫자들을 반대편으로 넘기면 끝난다 짝수 차수는 4 곱하기 4의 경우와 이를 응용한 8 곱하기 8, 12 곱하기 12, 16 곱하기 16등 4의 배수라면 동일한 방법으로 가능하다. 그 외에도 짝수차 magic square이 있는데 일반적으로 a 곱하기 a 또는 b 곱하기 b라고 한다면 짝수차는 ab 곱하기 ab인 것이다. 즉 큰 테두리는 4 곱하기 4이고 그 4 곱하기 4의 작은 네모 안에 3 곱하기 3이 있는 것이다. 즉 12 곱하기 12가 되는 것이다.

4. 마방진 푸는 방법을 배워보자

홀수 마방진 푸는 방법은 첫째 정사각형의 맨 아랫줄 가운데에 숫자 1을 쓴다. 둘째 이전 숫자 위에서 오른쪽 아래칸이 비어 있으면 다음 숫자를 채운다. 셋째 이전 숫자 위치에 오른쪽 아래칸이 채워져 있으면 이전 숫자의 위칸에 다음 숫자를 쓴다. 넷째 오른쪽 아래칸이 사각형의 영역 밖이면 수평 및 수직으로 이동해서 마지막 칸이 비어 있으면 해당 칸에 숫자를 쓰고, 수평 및 수직으로 이동해도 칸이 없는 경우 이전의 숫자 위치 위쪽 칸에 다음 숫자를 쓴다. 짝수 마방진 푸는 방법은 첫째 대각선의 위치만 1부터 시작해서 해당 칸이 몇 번째 칸인지 숫자를 쓴다. 둘째 맨 오른쪽 아래부터 위로 올라오면서 채워지지 않은 숫자를 순서대로 쓴다.

5. 수학으로 알아보는 마방진 원리

마방진은 1부터 시작하여 중복되는 숫자도 없어야 하고 빠지는 숫자도 없는 숫자 표이다. 3 곱하기 3의 경우 가로 3칸, 세로 3칸으로 이루어진 magic square이며, 총 9칸이 존재하므로 1부터 9까지의 숫자가 중복 및 빠짐없이 적어야 한다. magic square은 각 군 조합의 합이 항상 같아야 한다.

 

그 원리는 숫자들의 평균을 가로, 혹은 세로 개수로 곱한 값이다. 1부터 9까지의 평균은 5이며, 계산해 보면 1+9=10이 되고, 이 숫자를 2로 나누면 5가 된다. 그래서 5가 3칸이므로 5 곱하기 3=15이다. 즉 3 곱하기 3은 가로, 세로, 대각선의 합이 15가 되어야 한다는 뜻이다. 이것을 수식으로 나타내면 n곱하기(n의 제곱 +1)/2가 되는데 이곳에 3 곱하기 3을 대입해 보면 3 곱하기 (3의 제곱 +1) / 2 = 3 곱하기 (9 +1) /2 = 30 /2 = 15가 된다.