중학수학 회전체 성질 그리고 전개도 배우기

초등 6학년에서부터 배웠던 회전체 중학수학에서는 어떻게 정의를 하고 있는지 알아보면, 입체도형에서 rotating body와 다면체를 정확히 구분할 수 있어야 하는데 다면체는 밑면을 포함하여 모든 면이 다각형인 도형을 뜻하며 rotating body는 밑면이 곡선을 포함하고 있다는 것을 알고 있어야 한다. 오늘은 회전체 성질 그리고 전개도에 대해 알아보도록 하자.

 

목차
1. 회전체와 원뿔대 개념 알기
2. 회전체의 종류
3. 회전체의 성질
4. 회전체 전개도
5. 회전체의 단면 넓이와 둘레 구하기
6. 속이 비어 있는 회전체
7. 지구가 구 모양인 이유
8. 회전체 교과 유사 문제 풀기

 

1. 중학수학 회전체와 원뿔대 개념을 알아보자

중학수학 회전체에서 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 의미하며, 회전축은 회전시킬 때 축이 되는 직선을 뜻하고, mother ship은 rotating body에서 옆면을 만드는 선분을 뜻한다. 원뿔대는 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 도형을 뜻하며 밑면은 평행한 두 면이며, 옆면은 mother ship이 회전하여 생기는 면, 높이는 두 밑면 사이의 거리를 뜻한다.

2. 회전체의 종류 중학수학으로 배워보자

중학수학 회전체의 종류를 알아보면 직사각형을 1회 회전하면 원기둥이 되고, 직각삼각형을 1회 회전하면 원뿔이 되며, 두 각이 직각인 사다리꼴을 1회전 하면 원뿔대가 된다. 그리고 반원을 1회전 하면 구가되는 것을 알 수 있다.

3. 중학수학 회전체의 성질을 살펴보자

중학수학 회전체의 성질을 알아보면 하나- 회전축에 수직인 평면(가로)으로 자르면 단면은 항상 원이다. 둘- rotating body를 회전축을 포함하는 평면(세로)으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 모두 합동이고, 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭 도형임을 알 수 있다. 원기둥, 원뿔, 원뿔대, 구는 모두 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 모두 원이며, 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변 삼각형, 원뿔대는 등변 사다리꼴, 구는 원이 된다.

4. 회전체의 전개도 중학수학으로 알아보자

회전체의 전개도는 원뿔대의 전개도에서 옆면을 이루는 도형은 부채꼴의 일부분이며 구의 전개도는 그릴 수 없다. 그리고 원기둥의 전개도에서 직사각형의 라로의 길이는 원의 둘레의 길이와 같으며 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 원의 둘레의 길이와 같다.

5. 회전체의 단면의 넓이와 둘레의 길이 구하기

회전축에 수직인 평면으로 자를 때 단면은 항상 원이므로 반지름의 길이를 찾아 원의 넓이와 둘레를 구하는 공식을 이용하면 되고, 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때에는 회전시키기 전의 평면도형의 변의 길이를 이용하여 넓이 또는 둘레를 구하면 된다.

6. 속이 비어 있는 회전체 살펴보자

초등 6학년 수학에서 배웠던 속이 비어 있는 회전체는 평면도형이 회전축에서 떨어져 있는 경우 만들어지는 rotating body인데, 평면도형과 회전축 사이의 떨어진 공간도 하나의 rotating body가 되는 것을 주의해야 한다. 예를 들어 휴지심처럼 회전축에서 직사각형을 떨어뜨려 1회전 시키면 중간에 공간이 비어 있는 rotating body가 나올 수 있다는 것이다.

7. 지구가 구 모양인 이유는 무엇일까

지구가 구 모양인 이유는 지구가 가지고 있는 중력 때문인데 지구가 물체를 끌어당기는 힘을 우리는 중력이라고 하며, 중력은 방향과는 상관없이 거리에 의해서 세기가 달라진다. 즉 모든 방향으로 같은 힘이 작용했을 때 얻어질 수 있는 모양이 바로 구 모양이기 때문에 지구는 구 모양을 하고 있는 것이다.

8. 중학수학 교과서 유사 문제로 알아보는 회전체

중학수학에 나오는 회전체 문제를 풀어보며 rotating body에 대해 정리해보자. 문제 1. 구를 한 평면으로 자를 때 생기는 단면의 이름을 말하고, 그 단면의 넓이를 가장 크게 하려면 어떻게 잘라야 하는지 서술하기. 구를 한 평면으로 자를 때 생기는 단면의 이름은 원이며, 이때 가장 큰 원을 구하기 위해서는 구의 중심을 지나는 평면으로 자르면 가장 큰 단면인 원을 구할 수 있다.

 

문제 2 밑면의 반지름의 길이가 5cm, 높이가 9cm인 원기둥의 전개도에서 옆면이 되는 직사각형의 라로의 길이를 구하기. 원기둥의 전개도에서 직사각형의 가로의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 직사각형의 가로의 길이는 2pi 곱하기 5 - 10pi센티미터가 된다. 문제 3. 아랫변의 길이 6cm, 윗변의 길이 4cm, 높이 8cm인 사다리꼴은 1회전 시켰을 때 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 대 단면의 넓이는 1/2 곱하기 (4+6) 곱하기 8 곱하기 2 = 80 제곱센티미터이다.